＜理解の・・（中学数学編）＞

　＜理解してから覚えることの大切さ（中学数学編）＞

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　世界にはインドのように算数と数学とを区別していない国は
たくさんあります。しかし日本では算数と数学を区別している
ので、今日は算数ではなく数学を題材にします。

　前回の算数でもわかりやすいことや理解しやすいことが、長期
記憶として記憶に残りやすいことを書きました。これは数学でも
同じです。興味のある内容や理解できた内容は長期記憶として、
長く記憶に残ります。

　そしてこれは新たな問題があたえられたときに、長期記憶から
認知心理学で言われるスキーマ（枠組み）として加工されて、
問題解決に使われることになります。

　理解して記憶することは大切です。中学１年生に出てくるかん
たんな計算でさえ、理解して記憶していないと、いつも間違いを
おかします。そうならないために、機械的に処理する前に、しっ
かり理解してから記憶するようにしましょう。

　小学校の算数は正の数と０だけしか取り扱いません。ところが
中学の数学では負の数が入ってきます。ここでよくつまずくのは
負の数の引き算です。「（－２）をひく。」これは足し算になおす
と「（＋２）をたす。」ことと同じになります。

　負の数をはじめて習う中学１年生には、「ひく」が反対の言葉の
「たす」になり、それと同時に数字の符号も反対になることが、
なかなか理解されないのです。

　視覚的に数直線を書いて求めるときはできても、いざ数式だけに
なると混乱してミスをしてしまいます。

　この理解が不十分なまま、分配法則を使う文字式にはいると、
５ａ－（２ｂ－ｃ）＝５ａ－２ｂ+ｃのように、うまくカッコが
はずせなくなってしまいます。これは正負の計算の理解と分配
法則の理解があいまいなままなのです。

　さらにこの後、文字式から一次方程式へと学習は進んでいくと、
今度はこの二つの違いを、はっきり区別をしないまま学習を終えて
しまう人が、必ずでてきます。　

　それは文字式では分母が払えないのに、方程式では分母が払える
ようになるところで、理解があやふやになってしまうのです。

　例えば文字式を簡単にする場合、A÷C＋B÷Cは（A+B）÷Cと
なるだけで、分母Cを払うことができません。

　これが方程式A÷C=B÷Cになると両辺にCをかけて、分母を払って
A=Cとできます。ここの理解が不十分なのです。

　文字式と一次方程式が単独の問題として出題されれば、多くの
人はこの区別がつくのですが、学習を終えてしばらくたつと、
文字式と方程式の区別の理解があやふやになるのです。

　そういう人は必ず分数の文字式の分母を方程式の時と同じように
払ってしまうのです。

　日常の世界では大体理解すれば、間違わないことが多いものです。
たとえば犬と猫の区別をはっきりいえなくても、それらを見間違う
人はいないと思います。

　しかし学習では、はっきり区別しなければなりません。そうしないと
かならず間違ってしまうのです。

　中学３年生になると素因数分解が出てきます。例えば９０は素因数
分解して２×（３の２乗）×５のような素因数の積として表せるのです。
そしてこの９０の約数は素因数分解を利用して求めることができます。

　ここで９０の約数は素因数１個からなる約数｛２、３、５｝、
素因数２個からなる約数｛２×３、３×３、２×５、３×５｝、
素因数３個からなる約数｛２×（３の２乗）、２×３×５、
（３の２乗）×５｝、素因数４個からなる約数｛２×（３の２乗）×５｝
と約数１となり、合計１２個の約数から成り立っていることがわかります。

　教科書ではまず、素因数分解のしかたから入ります。それで機械的に
素因数分解はできるようです。

　しかしそれから約数が求められることを正しく理解していないと、
小学校算数で習った約数の求め方でしか、求めることができなくなります。

　次に中学数学では算数にはなかった証明問題が、新しく学習内容に
入ってきます。まず三角形の合同の証明です。一般の三角形の合同
条件は、「（１）３辺がそれぞれ等しい。（２）２辺とその間の角が
それぞれ等しい。（３）一辺とその両端の角がそれぞれ等しい。」の
３つです。

　２つの三角形の合同を示すには（１）～（３）のどれかの合同条件が
成り立てばよいのです。これは三段論法を用いて示すことになります。
例えば合同条件（１）を使うとすると、仮定ならば（１）、（１）ならば
合同、したがって仮定ならば合同がいえるのです。

　ところが証明を始めて習う中学生の中には（１）を示すだけで、
なぜ合同がいえるのかわからないもの、反対に結論から仮定を導こうと
するものや、証明の途中に結論を使ってしまうものがでてきます。

　これは「ＡならばB」と「BならばC」から「AならばC」を導く三段論法が、
理解されていないのです。

　また三段論法が理解されていても、仮定から（１）～（３）の合同条件の
どれを示せばよいのか、問題から判断がつかない人がたくさんいます。

　一般に数学では方程式などの文章問題を解くには、与えられた条件と
隠された条件の両方を使って答えを導くのが定石です。これは証明でも
変わりません。

　まず与えられた条件はそのまま使えます。つぎに問題文に直接あたえら
れていない隠された条件は、図を描くことや補助線を引くことで、それを
確かな条件に変えてしまいます。

　つまり問題に与えられた明らかな条件と、隠された条件から導き出された
確かな条件から結論を導くのです。

　ここで理解しておかなければならないことは、問題を解いたり結論を
導くには、隠された条件からいかに確かな条件を導くかということ
なのです。

　このことが理解されていないと、問題を解くことも証明することも、
できなくなってしまいます。

　他に中学数学では２次方程式の解の公式、円周角の定理や三平方の
定理などが出てきます。これらの公式や定理は比較的覚えやすいの
ではないでしょうか。

　理解なくして使ってはいけないとは言いません。しかし必ず後で、
導き方まで理解するようにしておきましょう。

　これらの理解は必ず長期記憶されるときに、認知心理学でいわれる
ところのスキーマ（枠組み）となり、新たな問題解決のときに想起され、
有効に活用されることになります。

　スキーマが複雑にからみあって、脳に長期記憶されればされるほど、
新たな問題に対処するときに、たんにそれを解決するだけでなく、
その処理速度もあがるのです。

　ここに理解してから記憶することの大切さがあるのです。機械的な
処理だけでなく、必ず理解して覚えるように心がけてください。そう
すれば上達がはやまります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　つづく

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　今回は「理解してから覚えることの大切さ（中学数学編）」を
書きました。こういう習慣をつけていけば高校数学になっても、
問題解決のためのスキーマを数多く蓄えていくことができます。
しかも何より一度覚えたことはなかなか忘れなくなるのです。
　

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